Caliente la leche en un recipiente apto para microondas hasta que esté tibia, durante unos 20 a 30 segundos a fuego alto. También puedes hacer esto en una cacerola al fuego.
En una batidora de pie con gancho para masa, combine el huevo, la harina, el azúcar, la levadura, la sal, la mantequilla y el puré de papas. Agrega la mezcla tibia de leche y agua y amasa durante unos 5 minutos hasta que la masa esté suave y tersa.
Forma una bola con la masa y colócala en un bol grande ligeramente engrasado. Cúbrelo con film transparente y déjalo reposar en un lugar cálido hasta que duplique su tamaño, aproximadamente de 1 a 1 ½ horas.
Después del primer aumento, divida la masa en 12 trozos iguales (de unos 100 g cada uno) y forme una bola suave con cada uno. Colóquelos en una fuente para hornear engrasada.
Cubra la sartén y deje que los panecillos crezcan hasta que casi dupliquen su tamaño, aproximadamente 1 hora.
Mientras los panecillos suben, precalienta el horno a 350 °F (177 °C) y prepárate para preparar el huevo batido.
En un bol pequeño, casca el huevo y bátelo ligeramente con un tenedor o un batidor. Agrega una cucharada de leche, una pizca de sal y una pizca de azúcar. Batir todo hasta que esté bien combinado y ligeramente espumoso.
Utilice una brocha de repostería para cepillar suavemente la superficie de cada panecillo. Asegúrese de cubrir la parte superior y los lados para que se dore uniformemente.
Hornea los panecillos en el horno precalentado durante 25 a 30 minutos, o hasta que estén dorados en la parte superior y suenen huecos al golpearlos en la parte inferior.
Retira los panecillos del horno y déjalos enfriar sobre una rejilla durante al menos 20 minutos antes de servir.