Ξεκινήστε πλένοντας τις φράουλες και αφαιρώντας τους μίσχους και τα φύλλα. Κόβουμε τις φράουλες σε μικρότερα κομμάτια, αν χρειάζεται, και τις τοποθετούμε στο μπλέντερ ή στον επεξεργαστή τροφίμων. Χτυπάμε τις φράουλες μέχρι να διαλυθούν σε λείο πουρέ. Μεταφέρουμε τον πουρέ σε μια κατσαρόλα και τον τοποθετούμε σε μέτρια φωτιά.

Μαγειρέψτε με το καπάκι μισάνοιχτο, ανακατεύοντας συχνά, μέχρι να πήξει ο πουρές της φράουλας και να μειωθεί στο ½ φλιτζάνι, που μπορεί να διαρκέσει περίπου 30 λεπτά, ανάλογα με το πόσο ζουμερές είναι οι φράουλες. Μόλις μειωθεί ο πουρές, αφαιρέστε τον από τη φωτιά και αφήστε τον να κρυώσει σε θερμοκρασία δωματίου πριν τον χρησιμοποιήσετε στο κέικ. Προθερμάνετε το φούρνο στους 350°F (180°C) και ετοιμάστε ένα ταψί 9x13 ιντσών αλείφοντας με λίπος ή βούτυρο και αλευρώνοντάς το ή χρησιμοποιώντας αντικολλητικό σπρέι ψησίματος.

Σε ένα μεγάλο μπολ κοσκινίζουμε μαζί το αλεύρι και το μπέικιν πάουντερ. Τοποθετούμε τις λυοφιλοποιημένες φράουλες στο μπολ του επεξεργαστή τροφίμων και τις χτυπάμε μέχρι να γίνουν μια λεπτή σκόνη. Προσθέστε τις αλεσμένες φράουλες στο μείγμα του αλευριού και χτυπήστε με το σύρμα για να ενωθούν. Αφήνω στην άκρη.

Στον κάδο του μίξερ κτυπάμε μαζί το βούτυρο και τη ζάχαρη μέχρι το μείγμα να γίνει ελαφρύ και αφράτο, περίπου 5 λεπτά. Χτυπάμε τα αυγά ένα-ένα, ανακατεύοντας καλά μετά από κάθε προσθήκη και ξύνοντας τις πλευρές του μπολ όσο χρειάζεται. Σε ένα φλιτζάνι μεζούρα, χτυπήστε μαζί τη μείωση του πουρέ φράουλας, το εκχύλισμα βανίλιας, τη διαυγή βανίλια και το γάλα. Εάν χρησιμοποιείτε χρωστικές τροφίμων, χτυπήστε το στο μείγμα μέχρι να κατανεμηθεί ομοιόμορφα.

Με το μίξερ σε χαμηλή ταχύτητα, εναλλάξ προσθέτοντας το μείγμα του αλευριού και το μείγμα βουτυρόγαλου σε τρεις προσθήκες, ξεκινώντας και τελειώνοντας με το μείγμα του αλευριού. Ανακατεύουμε μέχρι να ενωθούν.

Ρίχνουμε το κουρκούτι στο έτοιμο ταψί και λειαίνουμε την επιφάνεια. Ψήστε για 55 έως 60 λεπτά ή μέχρι να βγει καθαρή μια οδοντογλυφίδα που έχετε τοποθετήσει στο κέντρο και οι άκρες να αρχίσουν να απομακρύνονται από τα πλαϊνά του ταψιού. Καλύψτε το κέικ φράουλας χαλαρά με αλουμινόχαρτο αν ροδίζει πολύ. Αφήστε το κέικ να κρυώσει στο ταψί για 15 λεπτά πριν το αναποδογυρίσετε σε μια σχάρα για να κρυώσει εντελώς.

👀👉Σημείωση: Χρησιμοποιήσαμε ένα κεραμικό ταψί για αυτήν τη συνταγή για κέικ καρότου. Είναι σημαντικό να έχετε κατά νου ότι ο τύπος του ταψιού που χρησιμοποιείται μπορεί να επηρεάσει τον χρόνο μαγειρέματος του κέικ με φύλλο καρότου.

Ένα μεταλλικό ταψί μπορεί να μεταδώσει τη θερμότητα διαφορετικά από ένα κεραμικό σκεύος, με αποτέλεσμα διαφορετικούς χρόνους ψησίματος. Συνιστούμε να προσέχετε το κέικ ενώ ψήνεται και να το ελέγχετε περιοδικά με μια οδοντογλυφίδα ή μια συσκευή δοκιμής κέικ για να βεβαιωθείτε ότι έχει ψηθεί. Εάν χρησιμοποιείτε μεταλλικό ταψί, ίσως χρειαστεί να μειώσετε ελαφρώς το χρόνο μαγειρέματος.

Στον κάδο του μίξερ χτυπάμε το τυρί κρέμα και το ανάλατο βούτυρο μαζί μέχρι να γίνουν ελαφριά και αφράτα, περίπου 2 λεπτά. Σε έναν επεξεργαστή τροφίμων, αλέστε τις λυοφιλοποιημένες φράουλες σε λεπτή σκόνη. Προσθέστε τις αλεσμένες φράουλες στο μείγμα του τυριού κρέμα και του βουτύρου και χτυπήστε μέχρι να ενωθούν όλα.

Προσθέστε τη ζάχαρη άχνη, το εκχύλισμα βανίλιας και τη διαυγή βανίλια στο μείγμα, συνεχίζοντας το χτύπημα μέχρι το πάγωμα να γίνει λείο και να ενωθεί καλά.

Μόλις κρυώσει τελείως το κέικ, απλώστε το frosting ομοιόμορφα στην κορυφή του κέικ. Γαρνίρετε το κέικ με θρυμματισμένες φράουλες, αν θέλετε.